Зростання максимального члена рядів Діріхле

Анотація

Нехай $\Lambda$ $-$ клас невід'ємних зростаючих до $+\infty$ послідовностей $(\lambda_n)$, $A\in(-\infty,+\infty]$, $L_A$ $-$ клас неперервних зростаючих до $+\infty$ на $[A_0,A)$ функцій, $(\lambda_n)\in\Lambda$, а $F(s)=\sum a_ne^{s\lambda_n}$ $-$ такий ряд Діріхле, що його максимальний член $\mu(\sigma,F)=\max_n|a_n|e^{\sigma\lambda_n}$ є визначеним для всіх $\sigma\in(-\infty,A)$. У роботі доведено, що для довільних функцій $\alpha\in L_{+\infty}$ і $\beta\in L_A$ правильна рівність$$\rho^*_{\alpha,\beta}(F)=\max_{(\eta_n)\in\Lambda}\overline{\lim_{n\to\infty}}\frac{\alpha(\eta_n)}{\beta\left(\frac{\eta_n} {\lambda_n}+\frac{1}{\lambda_n}\ln\frac{1}{|a_n|}\right)},$$ де $\rho^*_{\alpha,\beta}(F)$ $-$ узагальнений $\alpha,\beta$-порядок функції $\ln\mu(\sigma,F)$, тобто $\rho^*_{\alpha,\beta}(F)=0$, якщо функція $\mu(\sigma,F)$ обмежена на $(-\infty,A)$, і $\rho^*_{\alpha,\beta}(F)=\overline{\lim_{\sigma\uparrow A}}\alpha(\ln\mu(\sigma,F))/\beta(\sigma)$, якщо функція $\mu(\sigma,F)$ необмежена на $(-\infty,A)$.