Цілі функції мінімального зростання із заданими нулями

Анотація

Нехай $l$ $-$ додатна, неперервна, зростаюча до $+\infty$ на $\mathbb{R}$ функція. Знайдено достатні та необхідні умови на додатну, неспадну на $\mathbb{R}$ функцію $h$, за яких для довільної комплексної послідовності $(\zeta_n)$ такої, що $\zeta_n\to\infty$, якщо $n\to\infty$, і $\ln n(r)\ge l(\ln r)$ для всіх достатньо великих $r$, існує ціла функція $f$ з нулями в точках $\zeta_n$ і лише в них (з урахуванням кратності), для якої маємо $$\ln\ln M(r)=o\big(l^{-1}(\ln n(r))\ln n(r)h(\ln n(r))\big),\quad r\notin E,\ r\to+\infty,$$ де $E\subset[1,+\infty)$ $-$ множина скінченої логарифмічної міри. Тут $n(r)$ $-$ лічильна функція послідовності $(\zeta_n)$, а $M(r)$ $-$ максимум модуля функції $f$.