Узагальнені типи зростання рядів Діріхле

Анотація

Нехай $A\in(-\infty,+\infty]$, а $\Phi$ - неперервна на $[\sigma_0,A)$ функція така, що $\Phi(\sigma)\to+\infty$, якщо $\sigma\to A-0$. Знайдено необхідну і достатню умову на невід'ємну зростаючу до $+\infty$ послідовність $(\lambda_n)_{n=0}^\infty$, за якої для кожного абсолютно збіжного в півплощині ${Re}\, s<A$ ряду Діріхле вигляду $F(s)=\sum_{n=0}^\infty a_ne^{s\lambda_n}$, $s=\sigma+it$, виконується співвідношення
$$
\overline{\lim\limits_{\sigma\uparrow A}}\frac{\ln M(\sigma,F)}{\Phi(\sigma)}=\overline{\lim\limits_{\sigma\uparrow A}}\frac{\ln\mu(\sigma,F)}{\Phi(\sigma)},
$$
де $M(\sigma,F)=\sup\{|F(s)|:{Re}\, s=\sigma\}$ і $\mu(\sigma,F)=\max\{|a_n|e^{\sigma\lambda_n}:n\ge 0\}$ $-$ максимум модуля і максимальний член цього ряду відповідно.