Повнота систем функцій Бесселя індексу $-5/2$

Анотація

Нехай $L^2((0;1);x^4 dx)$ $-$ ваговий простір Лебега всіх вимірних функцій $f:(0;1)\rightarrow\mathbb C$, для яких $\int_{0}^1 t^4 |f(t)|^2\, dt<+\infty$, $J_{-5/2}$ $-$ функція Бесселя першого роду індексу $-5/2$ і $(\rho_k)_{k\in\mathbb N}$ $-$ послідовність різних відмінних від нуля комплексних чисел. Знайдено необхідні та достатні умови повноти системи $\big\{\rho_k^2\sqrt{x\rho_k}J_{-5/2}(x\rho_k):k\in\mathbb N\big\}$ у просторі $L^2((0;1);x^4 dx)$ в термінах цілої функції, множина нулів якої співпадає з послідовністю $(\rho_k)_{k\in\mathbb N}$. При цьому, досліджено інтегральне зображення деякого класу $E_{4,+}$ парних цілих функцій експоненційного типу $\sigma\le 1$. Це доповнює аналогічні результати Б. Винницького, В. Дільного, О. Шавали та автора статті про апроксимаційні властивості систем функцій Бесселя з вiд’ємним пiвцiлим iндексом, меншим за $-1$.