Достатні умови покращеного регулярного зростання цілих функцій в термінах їх усереднення

Анотація

Нехай $f$ $-$ ціла функція порядку $\rho\in (0,+\infty)$ з нулями на скінченній системі променів $\{z: \arg z=\psi_{j}\}$, $j\in\{1,\ldots,m\}$, $0\le\psi_1<\psi_2<\ldots<\psi_m<2\pi$ і $h(\varphi)$ $-$ її індикатор. У 2011 році автор цієї статті довів, що якщо $f$ є функцією покращеного регулярного зростання (ціла функція $f$ називається функцією покращеного регулярного зростання, якщо для деяких $\rho\in (0,+\infty)$, $\rho_1\in (0,\rho)$ і $2\pi$-періодичної $\rho$-тригонометрично опуклої функції $h(\varphi)\not\equiv {-\infty}$ існує множина $U\subset\Bbb C$, яка міститься в об'єднанні кругів із скінченною сумою радіусів така, що $\log |f(z)|=|z|^\rho h(\varphi)+o(|z|^{\rho_1})$, $U\not\ni z=re^{i\varphi}\to\infty$), то для деякого $\rho_3\in (0,\rho)$ співвідношення $$\begin{equation*} \int_1^r {\frac{\log |{f(te^{i\varphi})}|}{t}}\, dt=\frac{r^\rho}{\rho}h(\varphi)+o(r^{\rho_3}),\quad r\to +\infty, \end{equation*}$$ виконується рівномірно за $\varphi\in [0,2\pi]$. В даній роботі, використовуючи метод коефіцієнтів Фур'є, ми встановлюємо обернене твердження, а саме, якщо для деякого $\rho_3\in (0,\rho)$ останнє асимптотичне співвідношення виконується рівномірно за $\varphi\in [0,2\pi]$, то $f$ є функцією покращеного регулярного зростання. Це доповнює аналогічні результати Б. Левіна, А. Гришина, А. Кондратюка, Я. Васильківа та Ю. Лапенка про функції цілком регулярного зростання.