Властивість продовження для одностайно лебеґових сімей функцій

Анотація

Нехай $X$ $-$ топологічний простір і $(Y,d)$ $-$ повний метричний сепарабельний простір. Сім'ю $\mathscr F$ функцій з $X$ в $Y$ ми називаємо одностайно лебеґовою, якщо для кожного $\varepsilon >0$ існує таке покриття $(F_n)$ простору $X$, яке складається із замкнених множин, що ${\rm diam\,}f(F_n)\leq \varepsilon$ для всіх $n\in\mathbb N$ та $f\in\mathscr F$.

Ми доводимо, що для досконало нормального простору $X$, повного метричного сепарабельного простору $Y$ та довільної підмножини $E\subseteq X$ кожну одностайно неперервну сім'ю функцій $\mathscr F\subseteq Y^E$ можна продовжити до одностайно лебеґової сім'ї $\mathscr G\subseteq Y^X$.