$SO(3)$ квазі-мономіальні сім'ї многочленів

Анотація

Нехай $H$ є підгрупою афінної просторової групи ${\rm Aff}(3)$, розглянута зі своєю природною дією на дійсному векторному просторі многочленів від трьох змінних. Сім'ю многочленів $\{ B_{m,n,k}(x,y,z) \}$ називають квазі-мономіальною відносно $H$, якщо оператори групи у двох різних базисах $\{ x^m y^n z^k \}$ та $\{ B_{m,n,k}(x,y,z) \}$ мають однакові матриці. Ми отримали критерій квазі-мономіальності у випадку, коли група $H$ є спеціальною ортогональною групою $SO(3)$. Цей критерій виражений через експоненціальну генеруючу функцію сім'ї многочленів $\{B_{m,n,k}(x,y,z)\}$. Було також доведено, що біортогональні поліноми Аппеля є квазі-мономіальними відносно $SO(3)$, і для них були знайдені рекурентні співвідношення.