Про напівгрупу $\boldsymbol{B}_{\omega}^{\mathscr{F}_n}$, породжену сім'єю $\mathscr{F}_n$ скінченних обмежених інтервалів у $\omega$

Анотація

Ми вивчаємо напівгрупу $\boldsymbol{B}_{\omega}^{\mathscr{F}_n}$, яка представлена в статті [Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 2020, 90, 5-19], у випадку коли ${\omega}$-замкнена сім'я $\mathscr{F}_n$ породжена множиною $\{0,1,\ldots,n\}$. Ми доводимо, що відношення Ґріна $\mathscr{D}$ і $\mathscr{J}$ співпадають в $\boldsymbol{B}_{\omega}^{\mathscr{F}_n}$, напівгрупа $\boldsymbol{B}_{\omega}^{\mathscr{F}_n}$ ізоморфна напівгрупі $\mathscr{I}_\omega^{n+1}(\overrightarrow{\mathrm{conv}})$ часткових порядково-опуклих ізоморфізмів множини $(\omega,\leqslant)$ рангу $\leqslant n+1$, і на $\boldsymbol{B}_{\omega}^{\mathscr{F}_n}$ існують лише конгруенції Ріса. Також вивчаються трансляційно неперервні топології на напівгрупі $\boldsymbol{B}_{\omega}^{\mathscr{F}_n}$. Зокрема, доведено, що для довільної трансляційно неперервної $T_1$-топології $\tau$ на $\boldsymbol{B}_{\omega}^{\mathscr{F}_n}$ кожен ненульовий елемент напівгрупи $\boldsymbol{B}_{\omega}^{\mathscr{F}_n}$ є ізольованою точкою в $(\boldsymbol{B}_{\omega}^{\mathscr{F}_n},\tau)$, на $\boldsymbol{B}_{\omega}^{\mathscr{F}_n}$ існує єдина компактна трансляційно неперервна $T_1$-топологія, і кожна $\omega_{\mathfrak{d}}$-компактна трансляційно неперервна $T_1$-топологія компактна. Описано замикання напівгрупи $\boldsymbol{B}_{\omega}^{\mathscr{F}_n}$ в гаусдорфовій напівтопологічній напівгрупі та доведено критерій $H$-замкненості топологічної інверсної напівгрупи $\boldsymbol{B}_{\omega}^{\mathscr{F}_n}$ в класі гаусдорфових топологічних напівгруп.