Більше про продовження лінійних операторів на векторних ґратках

Анотація

Класична теорема Канторовича стверджує існування та єдиність лінійного продовження додатного адитивного відображення, визначеного на додатному конусі $E^+$ векторної ґратки $E$ зі значеннями у архімедовій векторній ґратці $F$ на всю векторну ґратку $E$. Ми доводимо, що якщо $E$ має головну проективну властивість та $F$ порядково $\sigma$-повна, то для довільного $e \in E^+$ кожна додатна скінченно-адитивна $F$-значна міра, що визначена на булевій алгебрі $\mathfrak{F}_e$ фрагментів елемента $e$ має єдине додатне лінійне продовження на ідеал $E_e$ векторної ґратки $E$, породжений елементом $e$. Якщо, крім того, міра є $\tau$-неперервною, то лінійне продовження порядково неперервне.