Властивості аналітичних розв'язків трьох подібних диференціальних рівнянь другого порядку

Ключові слова:
близькість до опуклості, l-індекс, диференціальне рівнянняАнотація
Однолиста аналітична в D={z:|z|<1} функція f(z) називається опуклою, якщо f(D) − опукла область. Добре відомо, що умова Re{1+zf″(z)/f′(z)}>0, z∈D, є необхідною і достатньою для опуклості f. Функція f називається близькою до опуклої в D, якщо існує опукла в D функція Φ така, що Re(f′(z)/Φ′(z))>0, z∈D. С.М. Шах вказав умови на дійсні параметри β0, β1, γ0, γ1, γ2 диференціального рівняння z2w″+(β0z2+β1z)w′+(γ0z2+γ1z+γ2)w=0, за яких існує цілий трансцендентний розв'язок f такий, що f і всі його похідні є близькими до опуклих в D. Нехай 0<R≤+∞, DR={z:|z|<R} і l − додатна неперервна функція на [0,R) така, що (R−r)l(r)>C, C=const>1. Аналітична в DR функція f називається обмеженого l-індексу, якщо існує N∈Z+ таке, що |f(n)(z)|n!ln(|z|)≤max{|f(k)(z)|k!lk(|z|):0≤k≤N} для всіх n∈Z+ і z∈DR. Досліджено близькість до опуклості та обмеженість l-індексу для аналітичних в D розв'язків трьох аналогічних Шаху диференціальних рівнянь: z(z−1)w″+βzw′+γw=0, (z−1)2w″+βzw′+γw=0 і (1−z)3w″+β(1−z)w′+γw=0. Незважаючи на подібність цих рівнянь, їх розв'язки мають різні властивості.