Задача типу Діріхле-Неймана для рівнянь із частинними похідними з відхиленим просторовим аргументом

Анотація

В області, що є декартовим добутком відрізка $(0, T)$ і одиничного кола $\Omega=\mathbb R/(2\pi\mathbb Z)$, розглянуто задачу Діріхле-Неймана для безтипного диференціального рівняння з частинними похідними високого порядку з відхиленням просторового аргументу. Задачі Діріхле-Неймана для гіперболічних рівнянь та їх систем, якщо відхилення $h$ аргументів відсутні, вивчалися авторами раніше. Для таких задач було встановлено умови однозначної розв’язаності для майже всіх (стосовно міри Лебеґа) чисел $T>0$ і для майже всіх (стосовно міри Лебеґа) векторів, побудованих з коефіцієнтів рівняння.

У цій роботі встановлено умови розв’язності задачі у випадку $h\ne0$ та досліджено вплив відхилення $h$ на розв’язність задачі. Розв’язок задачі побудовано у вигляді ряду за системою ортогональних функцій. Для малих знаменників, які виникли при побудові розв’язку задачі, доведено метричні оцінки (експоненційного типу), які гарантують коректність задачі у просторах Соболева для майже всіх (стосовно міри Лебеґа) значень $T>0$ і для майже всіх (стосовно міри Лебеґа) значень $h\in[0,2\pi)$. Ці результати отримано завдяки тому, що відповідний характеристичний визначник допускає факторизацію у формі добутку гіперболічних функцій з цілими параметрами.