Деякі спектральні формули для функцій, породжених диференціальними та інтегральними операторами в просторах Орліча

Анотація

У цій статті ми досліджуємо поведінку послідовності $L^\Phi$-норм функцій, які породжені диференціальними та інтегральними операторами за допомогою їхнього спектра (носій перетворення Фур'є функції $f$ називають її спектром і позначають sp$(f)$). Для деякого полінома $Q$ ми вводимо поняття $Q$-примітивів, яке стає поняттям примітивів, якщо ${Q}(x)= x$, і вивчаємо поведінку послідовності норм $Q$-примітивів функцій у просторі Орліча $L^\Phi(\mathbb R^n)$. Ми отримали наступний головний результат: нехай $\Phi $ $-$ довільна функція Юнга, ${Q}({\bf x})$ $-$ поліном та $(\mathcal{Q}^mf)_{m=0}^\infty \subset L^\Phi(\mathbb R^n)$ задовольняє $\mathcal{Q}^0f=f, {Q}(D)\mathcal{Q}^{m+1}f=\mathcal{Q}^mf$ для $m\in\mathbb{Z}_+$. Припустимо, що sp$(f)$ є компактом і $sp(\mathcal{Q}^{m}f)= sp(f)$ для всіх $m\in \mathbb{Z}_+.$ Тоді $$ \lim\limits_{m\to \infty } \|\mathcal{Q}^m f\|_{\Phi}^{1/m}= \sup\limits_{{\bf x} \in sp(f)} \bigl|1/ {Q}({\bf x}) \bigl|. $$ Подано також відповідні результати для функцій, що породжені диференціальними та інтегральними операторами.