Про критерій збіжності для гіллястого ланцюгового дробу

Анотація

Основою цієї роботи є результат Є.А. Болтаровича (1989) про множини збіжності для гіллястого ланцюгового дробу $$\sum_{i_1=1}^N\frac{a_{i(1)}}{1}{\atop+}\sum_{i_2=1}^N\frac{a_{i(2)}}{1}{\atop+}\ldots{\atop+}\sum_{i_n=1}^N\frac{a_{i(n)}}{1}{\atop+}\ldots,$$ де $|a_{i(2n-1)}|\le\alpha/N,$ $i_p=\overline{1,N},$ $p=\overline{1,2n-1},$ $n\ge1,$ і для кожного мультиіндексу $i(2n-1)$ існує єдиний індекс $j_{2n},$ $1\le j_{2n}\le N,$ такий, що $|a_{i(2n-1),j_{2n}}|\ge R,$ $i_p=\overline{1,N},$ $p=\overline{1,2n-1},$ $n\ge1,$ та $|a_{i(2n)}|\le r/(N-1),$ $i_{2n}\ne j_{2n},$ $i_p=\overline{1,N},$ $p=\overline{1,2n},$ $n\ge1,$ де $N>1,$ $\alpha,$ $r$ та $R$ -- дійсні числа, що задовольняють певні умови. У цій роботі умови для цих множин замінено на $\sum_{i_1=1}^N|a_{i(1)}|\le\alpha(1-\varepsilon),$ $\sum_{i_{2n+1}=1}^N|a_{i(2n+1)}|\le\alpha(1-\varepsilon),$ $i_p=\overline{1,N},$ $p=\overline{1,2n},$ $n\ge1,$ і для кожного мультиіндексу $i(2n-1)$ існує єдиний індекс $j_{2n},$ $1\le j_{2n}\le N,$ такий, що $|a_{i(2n-1),j_{2n}}|\ge R$ та $\sum_{i_{2n}\in\{1,2,\ldots,N\}\backslash\{j_{2n}\}}|a_{i(2n)}|\le r,$ $i_p=\overline{1,N},$ $p=\overline{1,2n-1},$ $n\ge1,$ де $\varepsilon,$ $\alpha,$ $r$ та $R$ $-$ дійсні числа, що задовольняють певні умови, і, отримано кращі оцінки швидкості збіжності для цього гіллястого ланцюгового дробу.