Ваги $\mathbb{F}_{q}$-форм $2$-ступінчастих тривекторів розщеплення рангу $8$ над скінченним полем

Анотація

Коди Грассмана $-$ це лінійні коди, пов'язані з многовидом Грассмана $G(\ell,m)$ $\ell$-вимірного підпростору у $m$-вимірному векторному просторі $\mathbb{F}_{q}^{m}.$ Їх вивчав Й. Ногін для довільних $q.$ Ці коди зручно описати за допомогою відповідності між невиродженими $[n,k]_{q}$ лінійними кодами з одного боку, і невиродженими $[n,k]$ проективними системами з іншого боку. Невироджена $[n,k]$ проективна система $-$ це просто набір $n$ точок у проективному просторі $\mathbb{P}^{k-1}$, який задовольняє умови, що жодна гіперплощина $\mathbb{P}^{k-1}$ не містить $n$ точок, що розглядаються. У цій роботі ми визначимо вагу лінійних кодів $C(3,8)$, асоційованих із многовидом Грассмана $G(3,8)$ над довільним скінченним полем $\mathbb{F}_{q}$. Ми використовуємо формулу для ваги кодового слова $C(3,8)$ у сенсі потужності певних многовидів, пов'язаних з чергуванням трилінійних форм на $\mathbb{F}_{q}^{8}.$ Для $m=6$ і $7,$ звужений спектр $C(3,m)$ асоційований з $G(3,m),$ був повністю визначений в роботах К.В. Кайпа, Х.К. Пілаі і Й. Ногіна. Класифікація тривекторів істотно залежить від розмірності $n$ базового простору. Для $n\leq 8$ існує тільки скінченна кількість класів тривекторів під дією загальної лінійної групи $GL(n).$ Методи когомології Галуа можуть бути використані для визначення класів невироджених тривекторів, які поділяються на кілька класів при переході від $\mathbb{\bar{F}}$ до $\mathbb{F}.$ Ця програма частково визначена Л. Ноуі і Н. Мідуне. Класифікація трилінійних змінних форм на векторному просторі розмірності $8$ над скінченним полем $\mathbb{F}_{q}$ характеристик, відмінних від $2$ і $3$, була зроблена у роботах Л. Ноуі і Н. Мідуне. Ми описали $\mathbb{F}_{q}$-форми $2$-ступінчастих тривекторів розщеплення рангу $8$, де char $\mathbb{F}_{q}\neq 3.$ Цей факт ми використовуємо для визначення ваги $\mathbb{F}_{q}$-форм.