Спектри алгебр цілих функцій породжених деякою послідовністю поліномів

Анотація

У даній роботі досліджено властивості топологічної алгебри цілих функцій, породженої зліченною множиною однорідних поліномів на комплексному банаховому просторі.

Нехай $X$ є комплексним банаховим простором. Розглянуто підалгебру $H_{b\mathbb{P}}(X)$ алгебри Фреше цілих функцій обмеженого типу $H_b(X),$ породжену зліченною множиною алгебраїчно незалежних однорідних поліномів $\mathbb{P}.$ Показано, що кожен член ряду Тейлора цілої функції, яка належить алгебрі $H_{b\mathbb{P}}(X),$ є алгебраїчною комбінацією елементів $\mathbb{P}.$ Узагальнено теорему про обчислення радіус функції лінійного функціонала на випадок довільної підалгебри алгебри $H_b(X)$ на просторі $X.$ Кожен неперервний лінійний мультиплікативний функціонал, який діє з $H_{b\mathbb{P}}(X)$ у $\mathbb{C}$ однозначно визначається послідовністю своїх значень на елементах $\mathbb{P}.$ Як наслідок, існує взаємно однозначна відповідність між спектром (множиною всіх неперервних лінійних мультиплікативних функціоналів) алгебри $H_{b\mathbb{P}}(X)$ та деякою множиною послідовностей комплексних чисел. Встановлено оцінку зверху для послідовностей з цієї множини. Також доведено, що кожну функцію, яка належить алгебрі $H_{b\mathbb{P}}(X)$, де $X$ є замкненим підпростором простору $\ell_{\infty}$ і містить простір $c_{00},$ можна єдиним чином аналітично продовжити на $\ell_{\infty}$ і алгебри $H_{b\mathbb{P}}(X)$ та $H_{b\mathbb{P}}(\ell_{\infty})$ є ізометрично ізоморфними. Описано спектр алгебри $H_{b\mathbb{P}}(X)$ у даному випадку для деякого спеціального вигляду елементів множини $\mathbb{P}.$

Результати даної роботи можуть бути використані для дослідження алгебри симетрич\-них аналітичних функцій на банахових просторах.