Многочлени Гiльберта алгебр $SL_2$-iнварiантiв

Анотація

Ми розглядаємо одну з фундаментальних проблем класичної конструктивної теорії інваріантів -- дослідження многочленів Гільберта алгебр інваріантів групи Лі $SL_2.$ Її вигляд несе важливу інформацію про структуру цих алгебр. Крім того коефіцієнти і степінь многочленів Гільберта відіграють важливу роль в алгебраїчній геометрії. Відомо, що починаючи з деякого $i$ функції Гільберта алгебр $SL_n-$інваріантів є квазімногочленами. Формула Келлі-Сільвестра для обчислень функцій Гільберта алгебри коваріантів бінарної $d-$форми ${\mathcal{C}_{d}=\mathbb{C}[V_d\oplus \mathbb{C}^2]^{\,SL_2}}$ (тут $V_d$ -- комплексний $d+1-$ вимірний векторний простір бінарних форм степеня $d$) була запропонована ще Сільвестром і пізніше узагальнена на алгебри спільних $SL_2-$інваріантів скінченої кількості бінарних форм. Проте ці формули не виражають функції Гільберта як многочлен від $i.$

В нашiй статтi ми розглядаємо задачу обчислення в явнiй формi многочленiв Гiльберта алгебр спiльних iнварiантiв та спiльних коварiантiв $n$ лiнiйних форм i $n$ квадратичних форм. Ми виразили многочлени Гільберта цих алгебр $\mathcal{H}(\mathcal{I}^{(n)}_1,i)=\dim(\mathcal{C}^{(n)}_1)_i$, $\mathcal{H}(\mathcal{C}^{(n)}_1,i)=\dim(\mathcal{C}^{(n)}_1)_i,$ $\mathcal{H}(\mathcal{I}^{(n)}_2,i)=\dim(\mathcal{I}^{(n)}_2)_i$, $\mathcal{H}(\mathcal{C}^{(n)}_2,i)=\dim(\mathcal{C}^{(n)}_2)_i$ у вигяді квазімногочленів від $i$, а також подали їх у термінах відомих комбінаторних структур, таких як число Нараяна та узагальнений  гіпергеометричний ряд.