Нетрадиційні аналоги однопараметричного методу ітеративного агрегування

Анотація

При розв'язанні практичних завдань, що виникають, наприклад, в математичній економіці, в терії марківських процесів, часто доводиться використовувати декомпозицію операторних рівнянь за допомогою методів ітеративного агрегування. В дослідженнях цих методів для лінійного рівняння $x=Ax+b$ найчастішими є вимоги додатності оператора $A$, вільного члена $b$ та агрегуючих функціоналів, а також виконання нерівності $\rho(A)<1$ для спектрального радіуса $\rho(A)$ оператора $A$.

В статті для наближеного розв'язання системи, складеної з рівняння $x=Ax+b$, представленого у вигляді $x=A_1x+A_2x+b,$ де $b \in E,$ $E$ $-$ банахів простір, $A_1, A_2$ $-$ лінійні неперервні оператори, що діють з $E$ в $E$, і допоміжного рівняння $y=\lambda y - (\varphi,A_2x) -(\varphi,b)$ з дійсним невідомим $y$, де $(\varphi,x)$ $-$ значення лінійного функціоналу $\varphi \in E^*$ на елементах $x\in E$, $E^*$ $-$ спряжений з $E$ простір, побудовано і досліджено ітеративний процес $$\begin{equation*} \begin{split} x^{(n+1)}&=Ax^{(n)}+b+\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}A^i_1x^{(n)}}{(\varphi, x^{(n)})\sum\limits_{i=0}^{m}\lambda^i}(y^{(n)}-y^{(n+1)}) \quad (m<\infty),\\ y^{(n+1)}&=\lambda y^{(n+1)}-(\varphi,A_2x^{(n)})-(\varphi,b). \end{split} \end{equation*}$$

Встановлено умови, при виконанні яких послідовності ${x^{(n)}}, {y^{(n)}},$ побудовані з допомогою цих формул, збігаються відповідно до $x^*, y^*$ як компонент розв'язку системи, складеної з рівняння $x=A_1 x + A_2 x +b$ та рівняння $y=\lambda y - (\varphi,A_2 x) -(\varphi,b)$, не повільніше від швидкості збіжності геометричної прогресії зі знаменником, меншим від одиниці. При цьому вимагається, щоб оператор $A$ був стискуючим та знакосталим, а простір $E$ напівупорядкованим. Показано також застосування запропонованого алгоритму до систем лінійних алгебраїчних рівнянь.