Деякі властивості операторів зсуву на алгебрах, породжених $*$-поліномами

Анотація

$*$-Поліном $-$ це функція на комплексному банаховому просторі $X,$ яка є сумою так званих $(p,q)$-поліномів. У свою чергу, для невід'ємних чисел $p$ і $q,$ $(p,q)$-поліном $-$ це функція на просторі $X,$ яка є звуженням на діагональ деякого відображення, визначеного на декартовому степені $X^{p+q},$ яке є лінійним відносно кожного із своїх перших $p$ аргументів і антилінійним відносно кожного із решти $q$ своїх аргументів. Множина всіх неперервних $*$-поліномів на просторі $X$ утворює алгебру, яка містить алгебру всіх неперервних поліномів на просторі $X$ як власну підалгебру. Таким чином, поповнення цієї алгебри відносно деяких природних норм є ширшими класами функцій, ніж алгебри аналітичних функцій. З іншого боку, завдяки подібності будови $*$-поліномів і поліномів, для дослідження таких поповнень можна використовувати техніку, розроблену для дослідження аналітичних функцій на банахових просторах.

У роботі досліджується алгебра Фреше функцій на комплексному банаховому просторі, яка є поповненням алгебри всіх неперервних $*$-поліномів відносно зліченної системи норм, еквівалентних до норм рівномірної збіжності на замкнених кулях простору. Встановлено деякі властивості оператора зсуву (який діє як додавання деякого фіксованого елемента простору до аргументу функції) на цій алгебрі. Зокрема, показано, що оператори зсуву є добре визначеними неперервними лінійними операторами. Також доведено деякі оцінки для норм значень операторів зсуву. Використовуючи ці результати, досліджено один спеціальний клас функцій із алгебри, який є важливим для опису спектра (множини всіх максимальних ідеалів) алгебри.