Узагальнення локалізаційної властивості просторів Бєсова

Анотація

Поняття локалізаційної властивості простору Бєсова введене Г. Бурдо, введено таким чином, що простори Бєсова $B^{s}_{p,q}(\mathbb{R}^{n})$, де $s\in\mathbb{R}$ і $p,q\in[1,+\infty]$, такі, що $p\neq q$, є нелокалізовними у нормі $\ell^{p}$. Пізніше він показав, що простори Бєсова $B^{s}_{p,q}$ вкладені в локалізовані простори Бєсова $(B^{s}_{p,q})_{\ell^{p}}$ (тобто $B^{s}_{p,q}\hookrightarrow(B^{s}_{p,q})_{\ell^{p}},$ при $p\geq q$).  Також будо показано, що локалізовані простори Бєсова $(B^{s}_{p,q})_{\ell^{p}}$ вкладені в простори Бєсова $B^{s}_{p,q}$ (тобто $(B^{s}_{p,q})_{\ell^{p}}\hookrightarrow B^{s}_{p,q},$ при $p\leq q$). Зокрема $B_{p,p}^{s}$ є локалізовним в нормі $\ell^{p}$, де $\ell^{p}$ простір послідовностей $(a_{k})_{k}$ таких, що $\|(a_{k})\|_{\ell^{p}}<\infty$. У цій статті ми узагальнили теорему Бурдо про локалізаційну властивість просторів Бєсова $B^{s}_{p,q}(\mathbb{R}^{n})$ на простір $\ell^{r}$, де $r\in[1,+\infty]$. А точніше ми довели, що будь-який простір Бєсова $B^{s}_{p,q}$ є вкладений в локалізований простір Бєсова $(B^{s}_{p,q})_{\ell^{r}}$ (тобто $B^{s}_{p,q}\hookrightarrow(B^{s}_{p,q})_{\ell^{r}},$ при $r\geq\max(p,q)$). Також ми показали, що будь-який локалізований простір Бєсова $(B^{s}_{p,q})_{\ell^{r}}$ вкладений в простір Бєсова $B^{s}_{p,q}$ (тобто $(B^{s}_{p,q})_{\ell^{r}}\hookrightarrow B^{s}_{p,q},$ при $r\leq\min(p,q)$). І на завершення було показано, що простори Лізоркіна-Трібела $F^{s}_{p,q}(\mathbb{R}^{n})$, де $s\in\mathbb{R}$ і $p,q\in[1,+\infty]$ є локалізованими в нормі $\ell^{p}$ (тобто $F^{s}_{p,q}=(F^{s}_{p,q})_{\ell^{p}}$).