Параболічні за Шиловим системи із змінними коефіцієнтами

Анотація

Через параболічну нестійкість систем Шилова до зміни своїх коефіцієнтів, означення параболічності за Шиловим для систем із залежними від часу $t$ коефіцієнтами, на відміну від параболічності за Петровським, формулюється шляхом накладання умов на матрицант відповідної двоїстої за Фур'є системи. Для параболічних за Петровським систем із залежними від часу коефіцієнтами ці умови є характерною властивістю матрицанта, які випливають безпосередньо із означення параболічності. У зв'язку з цим, набуває актуальності питання про багатство класу Шилова систем із змінними коефіцієнтами.

У даній роботі наведено новий клас лінійних параболічних систем рівнянь із частинними похідними першого порядку за $t$ із залежними від часу коефіцієнтами, який охоплює клас Петровського систем із молодшими коефіцієнтами, залежними від $t$. Головна частина диференціального виразу кожної такої системи є параболічним за Шиловим виразом із сталими коефіцієнтами. Методом перетворення Фур'є побудовано фундаментальний розв'язок задачі Коші для систем цього класу та обгрунтовано їх параболічність за Шиловим. При цьому використано лише структуру системи та умови на власні числа її головного матричного символу. Цей клас, перед усім, характеризує багатство класу Шилова систем із змінними коефіцієнтами та невичерпність його системами Петровського.

Також наведено загальний метод дослідження фундаментального розв'язку задачі Коші для параболічних за Шиловим систем, який є розвиненням відомого методу Я.І. Житомирського.