Крайова задача для сингулярного рівняння теплопровідності

Ключові слова:
крайова задача, квазіпохідна, власні функції, метод Фур'єАнотація
Запропоновано схему розв'язування мішаної задачі за загальних крайових умов для рівняння теплопровідності a(x)∂T∂τ=∂∂x(λ(x)∂T∂x)a(x)∂T∂τ=∂∂x(λ(x)∂T∂x) з коефіцієнтом a(x)a(x), який є узагальненою похідною функції обмеженої варіації, λ(x)>0λ(x)>0, λ−1(x)λ−1(x) -- обмежена і вимірна функція. Крайові умови мають вигляд {p11T(0,τ)+p12T[1]x(0,τ)+q11T(l,τ)+q12T[1]x(l,τ)=ψ1(τ),p21T(0,τ)+p22T[1]x(0,τ)+q21T(l,τ)+q22T[1]x(l,τ)=ψ2(τ), де через T[1]x(x,τ) позначено квазіпохідну λ(x)∂T∂x. Розв'язок цієї задачі шукається методом редукції у вигляді суми двох функцій T(x,τ)=u(x,τ)+v(x,τ). Цей метод дає змогу звести розв'язування поставленої задачі до розв'язування двох задач: крайової квазістаціонарної задачі з початковими і крайовими умовами для відшукання функції u(x,τ) і мішаної задачі з нульовими крайовими умовами для деякого неоднорідного рівняння з невідомою функцією v(x,τ). Перша з цих задач розв'язується з допомогою введення квазіпохідної. Для розв'язування другої задачі застосовується метод Фур'є і розвинення за власними функціями деякої крайової задачі для квазідиференціального рівняння другого порядку (λ(x)X′(x))′+ωa(x)X(x)=0. Функція v(x,τ) подається у вигляді ряду за власними функціями цієї крайової задачі. Отримані результати можна використовувати для дослідження процесу теплопередачі в багатошаровій плиті.