Крайова задача для сингулярного рівняння теплопровідності

Анотація

Запропоновано схему розв'язування мішаної задачі за загальних крайових умов для рівняння теплопровідності \[a(x)\frac{\partial T}{\partial \tau}= \frac{\partial}{\partial x} \left(\lambda(x)\frac{\partial T}{\partial x}\right)\] з коефіцієнтом $a(x)$, який є узагальненою похідною функції обмеженої варіації, $\lambda(x)>0$, $\lambda^{-1}(x)$ -- обмежена і вимірна функція. Крайові умови мають вигляд $$\left\{ \begin{array}{l}p_{11}T(0,\tau)+p_{12}T^{[1]}_x (0,\tau)+ q_{11}T(l,\tau)+q_{12}T^{[1]}_x (l,\tau)= \psi_1(\tau),\\ p_{21}T(0,\tau)+p_{22}T^{[1]}_x (0,\tau)+ q_{21}T(l,\tau)+q_{22}T^{[1]}_x (l,\tau)= \psi_2(\tau), \end{array}\right.$$ де через $T^{[1]}_x (x,\tau)$ позначено квазіпохідну $\lambda(x)\frac{\partial T}{\partial x}$. Розв'язок цієї задачі шукається методом редукції у вигляді суми двох функцій $T(x,\tau)=u(x,\tau)+v(x,\tau)$. Цей метод дає змогу звести розв'язування поставленої задачі до розв'язування двох задач: крайової квазістаціонарної задачі з початковими і крайовими умовами для відшукання функції $u(x,\tau)$ і мішаної задачі з нульовими крайовими умовами для деякого неоднорідного рівняння з невідомою функцією $v(x,\tau)$. Перша з цих задач розв'язується з допомогою введення квазіпохідної. Для розв'язування другої задачі застосовується метод Фур'є і розвинення за власними функціями деякої крайової задачі для квазідиференціального рівняння другого порядку $(\lambda(x)X'(x))'+ \omega a(x)X(x)=0$. Функція $v(x,\tau)$ подається у вигляді ряду за власними функціями цієї крайової задачі. Отримані результати можна використовувати для дослідження процесу теплопередачі в багатошаровій плиті.